Question

16．求y=$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{3}{co{s}^{2}θ}$的最小值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式为y=4+cot²θ+3tan²θ，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：y=$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{3}{co{s}^{2}θ}$=$\frac{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}{{sin}^{2}θ}$+$\frac{{3sin}^{2}θ+{3cos}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}$=4+cot²θ+3tan²θ≥4+2$\sqrt{3}$，
当且仅当|cotθ|=$\sqrt{3}$|tanθ|时，取等号，故y的最小值为4+2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，基本不等式的应用，属于基础题．