Question

6．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=$\frac{x}{4x+1}$的图象上，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$．（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=b_n-2ⁿ，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到${b}_{n+1}=\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{4{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}+4$=b_n+4，由此能数列{b_n}是等差数列，并能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由c_n=b_n-2ⁿ=4n-3-2ⁿ，利用分组和法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 （Ⅰ）证明：∵数列{a_n}的首项a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=$\frac{x}{4x+1}$的图象上，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$．（n∈N^*）
∴${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{4{a}_{n}+1}$，∴${b}_{n+1}=\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{4{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}+4$=b_n+4，
∴b_n+1-b_n=4，${b}_{1}=\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴b_n=1+（n-1）×4=4n-3，${a}_{n}=\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{4n-3}$．
（Ⅱ）解：∵c_n=b_n-2ⁿ=4n-3-2ⁿ，
∴S_n=4（1+2+3+…+n）-3n-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=4×$\frac{n（n+1）}{2}$-3n-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2n²-n+2-2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意分组求和法的合理运用．