Question

8．己知函数f（x）=a+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）证明：该函数在R上是减函数；
（3）若f（m+1）＞f（2m），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）是奇函数，利用f（0）=0，即可求实数a的值；
（2）根据函数单调性的定义即可证明该函数在R上是减函数；
（3）结合函数单调性的性质即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域（-∞，+∞），
若f（x）是奇函数，
则f（0）=0，
即f（0）=a+$\frac{1}{2}=0$，解得a=$-\frac{1}{2}$；
（2）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=a+$\frac{1}{{3}^{{x}_{1}}+1}$-a-$\frac{1}{{3}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{3}^{{x}_{2}}+1-{3}^{{x}_{1}}-1}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$=$\frac{{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${3}^{{x}_{1}}$＜${3}^{{x}_{2}}$，
即${3}^{{x}_{2}}$-${3}^{{x}_{1}}$＞0．
则f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．即函数在R上是减函数；
（3）∵函数在R上是减函数，
∴若f（m+1）＞f（2m），
则m+1＜2m，即m＞1，
即实数m的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题主要考查函数奇偶性，单调性的定义和性质，要求熟练掌握函数的性质的证明和应用．