Question

20．已知函数f（x）=$\frac{ax+1}{2-x}$（a≠0）．
（1）求f（x）的定义域与值域；
（2）讨论f（x）在（2，+∞）上单调性．

Answer 1

分析 （1）定义域显然得出为{x|x≠2}，然后可将原函数变成f（x）=-a$+\frac{2a+1}{2-x}$，从而值域便是{f（x）|f（x）≠-a}；
（2）写出f（x）=$-a+\frac{2a+1}{2-x}$，这样便看出要讨论a的取值：a=$-\frac{1}{2}$时，显然没有单调性，而$a＞-\frac{1}{2}$，和$a＜-\frac{1}{2}$时，根据反比例函数的单调性即可判断f（x）在（2，+∞）上的单调性．

解答 解：（1）2-x≠0；
∴x≠2；
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠2}；
f（x）=$\frac{-a（2-x）+2a+1}{2-x}$=$-a+\frac{2a+1}{2-x}$；
$\frac{2a+1}{2-x}≠0$；
∴f（x）≠-a；
∴f（x）的值域为{f（x）|f（x）≠-a}；
（2）f（x）=$-a+\frac{2a+1}{2-x}$；
①a=$-\frac{1}{2}$时，f（x）=-a，∴f（x）不具有单调性；
②a$＞-\frac{1}{2}$时，2a+1＞0，根据反比例函数的单调性知，f（x）在（2，+∞）上单调递增；
③a$＜-\frac{1}{2}$时，2a+1＜0，根据反比例函数的单调性知，f（x）在（2，+∞）上单调递减．

点评 考查函数定义域、值域的概念及求法，分离常数法的运用，根据反比例函数单调性判断函数单调性的方法，注意a=$-\frac{1}{2}$时，f（x）没有单调性．