Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2|x-2|-1}&{1≤x≤3}\\{\frac{1}{2}f（\frac{x}{3}）}&{x＞3}\end{array}\right.$，则方程f（x）=$\frac{1}{2}$的解的个数为（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 4个以上

Answer 1

分析 利用函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2|x-2|-1}&{1≤x≤3}\\{\frac{1}{2}f（\frac{x}{3}）}&{x＞3}\end{array}\right.$，结合方程f（x）=$\frac{1}{2}$，即可得出结论．

解答 解：1≤x≤3时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-2x，1≤x≤2}\\{2x-5，2＜x≤3}\end{array}\right.$，
3＜x≤6时，1＜$\frac{x}{3}$≤2，f（$\frac{x}{3}$）=3-$\frac{2}{3}$x，f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{3}$x；
6＜x≤9时，2＜$\frac{x}{3}$≤3，f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{2}{3}$x-5，f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{2}$；
∴1≤x≤2时，3-2x=$\frac{1}{2}$，x=$\frac{5}{4}$；
2＜x≤3时，2x-5=$\frac{1}{2}$，x=$\frac{11}{4}$；
6＜x≤9时，$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$，x=9，
故选：B．

点评 本题考查方程f（x）=$\frac{1}{2}$的解的个数，考查分段函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．