Question

设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的公比与函数关系为，数列满足，点落在 上，，N，求数列的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和，使恒成立时，求的最小值．[

Answer 1

（1）证明过程详见试题分析； （2）数列的通项公式为；
（3），的最小值为-6．

解析试题分析：（1）按照等比数列的定义证明数列是等比数列；
（2）由（1）知与函数关系为，∴是首项为，公差为1的等差数列，通项公式可求；
（3）先用错位相减法求出数列的前项和，即，化简得恒成立，由单调性知当时，右边最大，所以，的最小值为-6．
（1）证明：当时，，解得．     1分
当时，．                   2分
即．
∵为常数，且，∴．               3分
∴数列是首项为1，公比为的等比数列．               4分
（2）解：由（1）得，，．            5分
∵
∴，即．
∴是首项为，公差为1的等差数列．                  7分
∴，即（）．            8分
（3）解：由（2）知，则．          9分
所以，
即，       ①
，        ②
②－①得，  
故．
，化简得恒成立，由单调性知当时，右边最大，所以，的最小值为-6．                            14分
考点：数列综合应用、函数与方程思想、恒成立问题．