Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“有界泛函”，给出以下函数：（1）f（x）=x²；（2）f（x）=2^x；(3)f(x)=

x

x2+x+1

；（4）f（x）=xsinx．其中是“有界泛函”的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：本题考查阅读题意的能力，根据F函数的定义进行判定：对于（1）、（2）两个函数无最大值故不存在这样的M对一切实数x均成立；对于（3），需要通过讨论，将不等式变形为 |

1

x2+x+1

| ≤m，可以求出符合条件的m的最小值为

4

3

，如此可得到正确结论；对于（4），|f（x）|=|xsinx|≤M|x|，即|sinx|≤M，当M≥1时，f（x）=xsinx是有界泛函．．

解答：解：对于（1），|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；
对于（2），|f（x）|=|2^x|≤M|x|，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；
对于（3），要使|f（x）|≤m|x|成立，即|

x

x2+x+1

| ≤m|x|
当x=0时，m可取任意正数；当x≠0时，只须m≥|

1

x2+x+1

|的最大值；因为x²+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，所以m≥

4

3

，因此，当m≥

4

3

时，f（x）=

x

x2+x+1

是有界泛函；
对于（4），|f（x）|=|xsinx|≤M|x|，即|sinx|≤M，当M≥1时，f（x）=xsinx是有界泛函．
故选C．

点评：本题属于开放式题，题型新颖，考查数学的阅读理解能力．知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．