Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=r•a_n+r（n∈N^*，r∈R且r≠0），则“r=1”是“数列{a_n}成等差数列”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：把r=1代入给出的递推式，直接判断出数列{a_n}是等差数列，再由给出的递推式，当r≠1时，配方后得到an+1+

r

r-1

=r(an+

r

r-1

)，说明数列{an+

r

r-1

}是等比数列，求出其通项公式后可得a_n，由a_n看出，当r=

1

2

时数列{a_n}为等差数列，从而说明“r=1”是“数列{a_n}成等差数列”的不必要条件．

解答：解：当r=1时，等式a_n+1=r•a_n+r化为a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1（n∈N^*）．
所以，数列{a_n}是首项a₁=1，公差为1的等差数列；
“r=1”是“数列{a_n}成等差数列”的充分条件；
当r不等于1时，
由an+1=ran+r=ran+

r2

r-1

-

r

r-1

，得：an+1+

r

r-1

=r(an+

r

r-1

)，
所以，数列{an+

r

r-1

}是首项为1+

r

r-1

=

2r-1

r-1

，公比为r的等比数列
所以，an+

r

r-1

=

2r-1

r-1

•rn-1，
an=

r

1-r

+

2r-1

r-1

•rn-1．
当r=

1

2

时，a_n=1．{a_n}是首项为1，公差为0的等差数列．
因此，“r=1”不是“数列{a_n}成等差数列”的必要条件．
综上可知，“r=1”是“数列{a_n}成等差数列”的充分但不必要条件．
故选A．

点评：本题考查了必要条件、充分条件及充要条件，解答的关键是判断必要性，也是该题的难点，考查了由递推式求数列的通项公式，对于a_n+1=pa_n+q型的递推式，一般都可转化成一个新的等比数列．此题是中档题．