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本题有(1)、(2)、(3)三个小题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分
(1)已知
10
12
B=
-43
4-1
,求矩阵B.
(2)已知极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合,若曲线C1的极坐标方程为:ρcos(θ-
π
4
)=
2
,曲线C2的参数方程为:
x=2cosθ
y=
3
sinθ
(θ为参数),试求曲线C1、C2的交点的直角坐标.
(3)已知x2+2y2+3z2=
18
17
,求3x+2y+z的最小值.
分析:(1)根据题意,设B=
ab
cd
,则
10
12
B=
ab
a+2cb+2d
,根据矩阵的运算,可得关于a、b、c、d的方程组,解可得a、b、c、d的值,进而可得答案;
(2)根据极坐标的运算,将C1、C2的极坐标方程转化为普通的曲线方程,进而联立可得
x+y=2
3x2+4y2=12
,解可得答案;
(3)根据题意,使用配凑法,结合不等式的性质,有(x2+2y2+3z2)[32+(
2
)
2
+(
1
3
)
2
]
(3x+
2
y
2
+
3
z
1
3
)2
 
,即可得12≥(3x+2y+z)2,由平方的性质,计算可得答案.
解答:解:(1)
B=
ab
cd
,则
10
12
B=
ab
a+2cb+2d

a=-4
b=3
a+2c=4
b+2d=-1
解得
a=-4
b=3
c=4
d=-2
B=
-43
4-2

(2)曲线C1可化为:
2
2
ρcosθ+
2
2
ρsinθ=
2
,即x+y=2

曲线C2可化为
x2
4
+
y2
3
=1

联立
x+y=2
3x2+4y2=12
解得交点为(2,0),(
2
7
12
7
)

(3)∵(x2+2y2+3z2)[32+(
2
)
2
+(
1
3
)
2
]

(3x+
2
y
2
+
3
z
1
3
)2
 

≥(3x+2y+z)2
(3x+2y+z)2≤12,-2
3
≤3x+2y+z≤2
3

当且仅当x=-
9
3
17
,y=-
3
3
17
,z=-
3
17
时,
3x+2y+z取最小值,最小值为-2
3
点评:本题是选修内容,高考时一般为三选一或四选一,一般属基础知识的运用,所以难度一般不大,应注意不能失分.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,请考生任选2题作答.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知a,b∈R,若M=
-1a
b3
所对应的变换TM把直线L:2x-y=3变换为自身,求实数a,b,并求M的逆矩阵.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程:
x=t
y=1+2t
(t为参数)和圆C的极坐标方程:ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)

①将直线l的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
②判断直线l和圆C的位置关系.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数x的范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

本题有(1)、(2)、(3)三个选择题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(1).选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
1a
-1b
,A的一个特征值λ=2,其对应的特征向量是α1=
2
1

(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)若向量β=
7
4
,计算A2β的值.

(2).选修4-4:坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
,点F1,F2为其左、右焦点,直线l的参数方程为
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
(t为参数,t∈R).求点F1,F2到直线l的距离之和.
(3).选修4-5:不等式选讲
已知x,y,z均为正数.求证:
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
12
34

①求矩阵A的逆矩阵B;
②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x,求直线l的方程.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合.圆C的参数方程为
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
(a为参数),点Q极坐标为(2,
7
4
π).
(Ⅰ)化圆C的参数方程为极坐标方程;
(Ⅱ)若点P是圆C上的任意一点,求P、Q两点距离的最小值.
(3)选修4-5:不等式选讲
(I)关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解不是空集,求a的取值范围.
(II)设x,y,z∈R,且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1
,求x+y+z的取值范围.

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(Ⅰ)选修4-2:矩阵与变换,
已知矩阵A=
01
a0
,矩阵B=
02
b0
,直线l1
:x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l2,直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线l3:x+y+4=0,求直线l2的方程.
(Ⅱ)选修4-4:坐标系与参数方程,
求直线
x=-2+2t
y=-2t
被曲线
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦长.
(Ⅲ)选修4-5:不等式选讲,解不等式|x+1|+|2x-4|>6.

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分
(1)已知矩阵M=
12
21
,β=
1
7
,(Ⅰ)求M-1;(Ⅱ)求矩阵M的特征值和对应的特征向量;(Ⅲ)计算M100β.
(2)曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ,点A的极坐标是(2,0),求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长.
(3)已知a>0,求证:
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2

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