Question

已知：以点C（t，

2

t

）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
（Ⅰ）当t=2时，求圆C的方程；
（Ⅱ）求证：△OAB的面积为定值；
（Ⅲ）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当t=2时，圆心为C（2，1），即可得出圆C的方程；
（Ⅱ）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可；
（Ⅲ）设MN的中点为H，则CH⊥MN，根据C、H、O三点共线，K_MN=-2，由直线OC的斜率k=

2 t

t

=

1

2

，求得t的值，可得所求的圆C的方程．

解答：（Ⅰ）解：当t=2时，圆心为C（2，1），
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5；
（Ⅱ）证明：由题设知，圆C的方程为（x-t）²+（y-

2

t

）²=t²+

4

t2

，
化简得x²-2tx+y²-

4

t

y=0．
当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；
当x=0时，y=0或

4

t

，则B（0，

4

t

），
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

|2t|•|

4

t

|=4为定值．
（Ⅲ）解：∵OM=ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，K_MN=-2，则直线OC的斜率k=

2 t

t

=

1

2

，
∴t=2或t=-2．
∴圆心为C（2，1）或C（-2，-1），
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5．
由于当圆方程为（x+2）²+（y+1）²=5时，直线2x+y-4=0到圆心的距离d＞r，
此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴所求的圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，是中档题．