Question

已知定义在R上的函数f(x)＝lg(＋1)＋3x

(1)设g(x)是R上的奇函数，h(x)是R上的偶函数，且满足f(x)＝g(x)＋h(x)，试求g(x)与h(x)；

(2)设a、b∈R，证明a＋b＞0是f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)的充分必要条件．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由f(x)＝g(x)＋h(x)　　∴f(－x)＝g(－x)＋h(－x)． ∵g(x)是奇函数，h(x)是偶函数 ∴f(－x)＝－g(x)＋h(x) ∴g(x)＝[f(x)－f(－x)]，h(x)＝[f(x)＋f(－x)]． g(x)＝[lg(＋1)＋3x－lg(＋1)＋3x]． ＝ ＝ ＝ ＝． h(x)＝f(x)－g(x)＝＋3x－＝－． (2)任取＜ ∵＜　　∴＞0． ＞，＋1＞＋1＞0，＞1，＞0 ∴－＞0， 即f(x)是定义域R上的增函数． 由a＋b＞0，∴a＞－b，b＞－a． ∴f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，将两式相加 ∴f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b) 即a＋b＞0是f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)成立的充分条件． 由f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)， ∴g(a)＋h(a)＋g(b)＋h(b)＞g(－a)＋h(－a)＋g(－b)＋h(－b)． ∵g(a)是奇函数，h(x)是偶函数， ∴g(a)＋h(a)＋g(b)＋h(b)＞－g(a)＋h(a)－g(b)＋h(b)． ∴2[g(a)＋g(b)]＞0． ∴＞0，即a＋b＞0． 即f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)是a＋b＞0成立的必要条件． 综上，a＋b＞0是f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)成立的充分必要条件．