Question

已知

a

=(

1

3

x2，x)，

b

=(x，x-3)，x∈[-4，4]．
（1）求f(x)=

a

•

b

表达式；
（2）求f（x）的最小值，并求此时

a

与

b

的夹角．

Answer 1

分析：（1）由数量积公式，直接代入计算可得答案；
（2）由（1）可得f（x）的解析式，求其求导可得f′（x），令f′（x）=0可得f（x）的极值点，列表分析可得f（x）的最小值，同时可得此时x的值，将x的值代入

a

，

b

的坐标，将其代入向量的夹角公式，计算可得答案．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=

1

3

x³+x（x-3）=

1

3

x³+x²-3x；
（2）由（1）可得，f（x）=

1

3

x³+x²-3x，
f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），
令f′（x）=0，可得x=1或x=-3，
列表可得：

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	20 3	增	9	减	- 5 3	增	76 3

则x=-1时，f（x）取得最小值，且f（x）_min=-

5

3

，
此时

a

=（

1

3

，1），

b

=（1，-2），则|

a

|=

10

3

，|

b

|=

5

，
cos＜

a

，

b

＞=-

2

2

，
则＜

a

，

b

＞=135°．

点评：本题考查利用导数求函数的最值，一般方法是，求出导函数的零点，列表并得到函数的极值，比较函数的极值，进而来确定函数的最值．