Question

下图是一个直三棱柱(以A₁B₁C₁为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°,AA₁=4,BB₁=2,CC₁=3.

(1)设点O是AB的中点,证明OC∥平面A₁B₁C₁;

(2)求AB与平面AA₁C₁C所成的角的大小;

(3)求此几何体的体积.

Answer 1

解法一:(1)证明:作OD∥AA₁交A₁B₁于D,连结C₁D.

则OD∥BB₁∥CC₁.

因为O是AB的中点,

所以OD=(AA₁+BB₁)=3=CC₁.

则ODC₁C是平行四边形,因此有OC∥C₁D,

C₁D平面C₁B₁A₁且OC平面C₁B₁A₁,则OC∥面A₁B₁C₁.

(2)解:如图,过B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁,分别交AA₁、CC₁于A₂、C₂,

作BH⊥A₂C₂于H.

因为平面A₂BC₂⊥平面AA₁C₁C,则BH⊥面AA₁C₁C.

连结AH,则∠BAH就是AB与面AA₁C₁C所成的角.

因为BH=,AB=,

所以sin∠BAH=,

AB与面AA₁C₁C所成的角为∠BAH=arcsin.

(3)解：因为BH=,

所以V_B—AA2C2C=S_AA2C2C·BH=·(1+2)··=,

V_{A1B1C1—A2BC2}=S_△A1B1C1·BB₁=·2=1.

所求几何体的体积为V=V_B—AA2C2C+V_{A1B1C1—A2BC2}=.

解法二:

(1)证明：如图,以B₁为原点建立空间直角坐标系,

则A(0,1,4),B(0,0,2),C(1,0,3),因为O是AB的中点,

所以O(0,,3),=(1,-,0).

易知n=(0,0,1)是平面A₁B₁C₁的一个法向量.

因为·n=0,OC平面A₁B₁C₁,

所以OC∥平面A₁B₁C₁.

(2)解：设AB与面AA₁C₁C所成的角为θ,

求得=(0,0,4),=(1,-1,0).

设m=(x,y,z)是平面AA₁C₁C的一个法向量,则

由

得

取x=y=1,得m=(1,1,0).

又因为=(0,-1,-2),

所以cos〈m,〉=

则sinθ=.

所以AB与面AA₁C₁C所成的角为arcsin.

(3)同解法一.绿色通道:

本题主要考查直线与平面平行的判定及直线与平面所成角及几何体体积的求法，解法一为传统解法，解法二为向量解法.两种方法各有千秋，充分体现了思维的灵活性.

在解决此类问题时，要注意计算方法的灵活性，特别是向量解法，应注意各点的坐标.