Question

下图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC。已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3，
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B-AC-A₁的大小；
（3）求此几何体的体积．

Answer 1

（1）证明：作交于D，连， 则， 因为O是AB的中点， 所以， 则是平行四边形，因此有， 平面， 则OC∥面． （2）解：如图，过B作截面， 分别交， 作于H，连结CH， 因为， 所以， 则BH⊥平面， 又因为， 所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC， 所以∠BCH就是所求二面角的平面角， 因为， 所以，故∠BCH=30°， 即所求二面角的大小为30°。 （3）因为， 所以， ， 所求几何体体积为。