Question

20. 下图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A₁B₁＝B₁C₁＝1，∠A_lB_lC₁＝90°，AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3.

   （1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；

   （2）求AB与平面AA₁C₁C所成的角的大小；

   （3）求此几何体的体积.

Answer 1

解法一：

(1)证明：作OD∥AA₁,交A₁B₁于D, 连C₁D.

则OD∥BB₁∥CC₁.

因为O是AB的中点，

所以OD=(AA₁+BB₁)=3=CC₁.

则ODC₁C是平行四边形，因此有OC∥C₁D,

C₁D 平面C₁B₁A₁且OC 平面C₁B₁A₁

则OC∥面A₁B₁C₁

(2)解：如图，过B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁,分别交AA₁、CC₁于A₂、C₂,

作BH⊥A₂C₂于H,

因为平面A₂BC₂⊥平面AA₁C₁C, 则BH⊥面AA₁C₁C.

连结AH，则∠BAH就是AB与面AA₁C₁C所成的角.

因为,,所以,

AB与面AA₁C₁C所成的角为.

 

(3)因为,所以

.

,

所求几何体的体积为

解法二：

(1)证明：如图，以B₁为原点建立空间直角坐标系，则A(0,1,4), B(0,0,2), C(1,0,3), 因为O是AB的中点所以O（0,，3）,

.

易知，＝（0,0,1）是平面A₁B₁C₁的一个法向量。

由且OC 平面A₁B₁C₁知OC∥平面A₁B₁C₁.

(2)设AB与面AA₁C₁C所成的角为θ。

求得,.

设是平面AA₁C₁C的一个法向量，则

由得：取x=y=1得：.

又因为

所以，，则，

所以AB与面AA₁C₁C所成的角为.

(3)同解法一