Question

若定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log₃x，则方程f（x）+4=f（0）在区间（0，10）内的所有实根之和为（　　）

A．28

B．30

C．32

D．34

Answer 1

分析：可根据定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称⇒f（x+4）=f（x），再利用0＜x≤1时，f（x）=log₃x，数形结合，可求得方程f（x）+4=f（0）在区间（0，10）内的所有实根之和．

解答：解：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，
又定义在R上的奇函数，故f（0）=0，
∵f（x）+4=f（0），
∴f（x）=-4+f（0）=-4，
∵0＜x≤1时，f（x）=log₃x≤0，
∴f（x）=-4在（0，1）内有一实根x₁，又函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=-4在（1，2）有一个实根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）的周期为4，
∴f（x）在（4，5），（5，6）上各有一个实根x₃、x₄，x₃+x₄=10；在（8，9），（9，10）各有一个实根x₅，x₆，x₅+x₆=18；
∴原方程在区间（0，10）内的所有实根之和为30．
故选B．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断及奇偶函数图象的对称性，关键在于判断f（x）的周期为4，再结合“0＜x≤1时，f（x）=log₃x”与奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，数形结合予以解决，属于中档题．