Question

记函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，则称以（x₀，x₀）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f(x)=

3x+a

x+b

图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；
（2）设点P（x，y）到直线y=x的距离d=

|x-y|

2

．在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A₁，A₂，P为函数f（x）图象上的另一点，其纵坐标y_P＞3，求点P到直线A₁A₂距离的最小值及取得最小值时点P的坐标．
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例．若地方不够，可答在试卷的反面．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=

3x+a

x+b

图象上有两个关于原点对称的不动点，即x²+（b-3）x-a=0有两个互为相反的根，根据方程的根与系数关系可求a，b的关系
（2）若a=8，b=3可得f（x）=

3x+8

x+3

=x可求A₁A₂所在 的直线方程为x-y=0，设P（x，y）则由y=

3x+8

x+3

＞3可得x＜-3，点P到直线A₁A₂的距离d=

|x-y|

2

=|

x2-8

x+3

|×

1

2

=

|x+3+ 1 x+3 -6|

2

（x＜-3）=-(x+3)+

1

-(x+3)

+6，利用基本不等式可求d的最小值及取得最小值的P
（3）令g（x）=f（x）-x则由f（x）为奇函数可得g（x）为奇函数，由奇函数的性质可得g（0）=0，当x≠0时，若g（x）=0，则g（-x）=-g（x）=0，从而可得g（x）=0的零点有奇数个即f（x）=x的根有奇数个

解答：解：（1）函数f(x)=

3x+a

x+b

图象上有两个关于原点对称的不动点，
∴f（x）=x有两个互为相反数的根
即x²+（b-3）x-a=0有两个互为相反的根
∴

b-3=0 -a＜0

∴b=3，a＞0
（2）若a=8，b=3则可得f（x）=

3x+8

x+3

=x
∴x=±2

2

即 A1(2

2

，2

2

)，A2(-2

2

，-2

2

)
∴A₁A₂所在 的直线方程为x-y=0
设P（x，y）则由y=

3x+8

x+3

＞3可得x＜-3
点P到直线A₁A₂的距离d=

|x-y|

2

=|

x2-8

x+3

|×

1

2

=

|x+3+ 1 x+3 -6|

2

（x＜-3）
=

1

2

[-(x+3)+

1

-(x+3)

+6]≥

2 -(x+3)• -1 x+3 +6

2

=4

2

d_min=4

2

，此时x+3=

1

x+3

即x=-4，P（-4，4）
（3）令g（x）=f（x）-x则由f（x）为奇函数可得g（x）为奇函数
由奇函数的性质可得g（0）=0
当x≠0时，若g（x）=0，则g（-x）=-g（x）=0
∴g（x）=0的零点有奇数个即f（x）=x的根有奇数个
若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个为真命题

点评：本题以新定义为切入点，主要考查了方程的根与系数的关系的应用，点到直线的距离公式的应用，及基本不等式在求解函数最值中的应用及条件的配凑，及奇函数性质等知识的综合应用．