Question

记函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使得f（x）=x成立，则称（x₀，x₀）为函数f（x）图象上的“稳定点”.

（1）是否存在实数a，使函数f（x）=的图象上有且仅有两个相异的稳定点?若存在，求出范围；若不存在，请说明理由.

（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求证：函数必有奇数个稳定点.

Answer 1

（1）解：设函数f（x）=的图象上有且仅有两个相异的稳定点，则f（x）==x，即有两个相异的根，

所以

解之，得a＞5或a＜1，a≠-.

因此存在a∈（-∞，-）∪（-，1）∪（5，+∞）使得函数f（x）=的图象上有且仅有两个相异的稳定点.

（2）证明：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0.因此（0，0）是f（x）的一个稳定点.假设函数还有稳定点（x₀，x₀），即f（x₀）=x₀，则必定有f（-x₀）=-x₀.这说明（-x₀，-x₀）也是函数的稳定点.

综上所述，奇函数的稳定点除原点外，都是成对出现，因此其稳定点的个数是奇数.