Question

记函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，则称以（x₀，y₀）为坐标的点是函数f（x）的图象上的“稳定点”．
（1）若函数f(x)=

3x-1

x+a

的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a的取值范围；
（2）已知定义在实数集R上的奇函数f（x）存在有限个“稳定点”，求证：f（x）必有奇数个“稳定点”．

Answer 1

分析：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是函数f(x)=

3x-1

x+a

的图象上的两个“稳定点”，由定义可得

3x1-1 x1+a =x1 3x2-1 x2+a =x2

，所以x₁，x₂是方程x²+（a-3）x+1=0（x≠-a）的两相异实根且不等于-a，由此可得关于a的不等式组，解出即可；
（2）由f（x）为R上的奇函数可判断原点（0，0）是函数f（x）的“稳定点”，只要再说明除原点外“稳定点”成对出现即可；

解答：解：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是函数f(x)=

3x-1

x+a

的图象上的两个“稳定点”，
则

3x1-1 x1+a =x1 3x2-1 x2+a =x2

，即有x12+(a-3)x1+1=0(x1≠-a)，x22+(a-3)x2+1=0(x2≠-a)，
∴x₁，x₂是方程x²+（a-3）x+1=0（x≠-a）的两根，
∴方程x²+（a-3）x+1=0有两个相异的实根且不等于-a，
∴

△=(a-3)2-4×1＞0 (-a)2+(a-3)(-a)+1≠0

，解得a＞5或a＜1且a≠-

1

3

，
∴a的取值范围是（-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，1）∪（5，+∞；
（2）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，∴原点（0，0）是函数f（x）的“稳定点”，
若f（x）还有“稳定点”（x₀，y₀），
则由f（x）为奇函数，得f（-x₀）=-f（x₀）且f（x₀）=x₀，
∴f（-x₀）=-x₀，
这说明：（-x₀，-x₀）也是f（x）的“稳定点”．                     
综上所述可知，f（x）图象上的“稳定点”除原点外是成对出现的，而且原点也是其“稳定点”，
所以它的“稳定点”的个数为奇数．

点评：本题以新定义为切入点，主要考查了二次方程的根的个数问题、奇函数性质等知识的综合应用，考查学生分析解决新问题的能力．