Question

某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：

学院	机械工程学院	海洋学院	医学院	经济学院
人数	4	6	4	6

（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；
（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,列举法计算基本事件数及事件发生的概率,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为

C

3 20

，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为

C

1 4

•

C

1 6

•

C

1 4

+

C

1 4

•

C

1 6

•

C

1 6

+

C

1 4

•

C

1 4

•

C

1 6

+

C

1 6

•

C

1 4

•

C

1 6

，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率．
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为

C

3 20

，
选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：

C

1 4

•

C

1 6

•

C

1 4

+

C

1 4

•

C

1 6

•

C

1 6

+

C

1 4

•

C

1 4

•

C

1 6

+

C

1 6

•

C

1 4

•

C

1 6

所以P=

C 1 4 • C 1 6 • C 1 4 + C 1 4 • C 1 6 • C 1 6 + C 1 4 • C 1 4 • C 1 6 + C 1 6 • C 1 4 • C 1 6

C 3 20

=

8

19

（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，
P(ξ=0)=

C 3 16

C 3 20

=

5×7×16

3×20×19

=

28

57

，P(ξ=1)=

C 2 16 C 1 4

C 3 20

=

8×15×4

3×20×19

=

8

19

，P(ξ=2)=

C 1 16 C 2 4

C 3 20

=

16×6

3×20×19

=

8

95

，P(ξ=3)=

C 3 4

C 3 20

=

4

3×20×19

=

1

285

所以ξ的分布列为

	0	1	2	3
P	28 57	8 19	8 95	1 285

所以E(ξ)=

28

57

×0+

8

19

×1+

8

95

×2+

1

285

×3=

57

95

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．