Question

5．以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰三角形OAB，∠OBA=90°，则点B的坐标为（　　）

• A． （1，3）或（3，-1）
• B． （-1，3）或（3，1）
• C． （1，3）或（3，1）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 设B（x，y），利用三角形是等腰直角三角形得到向量$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{AB}$，C为OA中点得到$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，由此得到关于B的坐标的方程解之．

解答 解：设点B的坐标为（x，y），则$\overrightarrow{OB}$=（x，y），$\overrightarrow{AB}$=（x-4，y-2）．
∵∠OBA=90°，即$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=0，
∴x（x-4）+y（y-2）=0，
即x²+y²-4x-2y=0，①
设OA的中点为C，则点C（2，1），$\overrightarrow{OC}$=（2，1），$\overrightarrow{BC}$=（x-2，y-1），
在等腰三角形AOB中，$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{BC}$=0，
∴2（x-2）+y-1=0，即2x+y-5=0，②
解①②得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$
故B点坐标为（1，3）或（3，-1）；
故选A．

点评 本题考查了利用平面向量的坐标运算、向量垂直求点的坐标；关键是由已知适当设点，利用等腰直角三角形的性质得到向量垂直．