Question

14．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C₁的方程为ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$=0，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）将C₁的方程化为直角坐标方程；
（2）若点Q为C₂上的动点，P为C₁上的动点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的方程为ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$=0，展开可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$+$\frac{1}{2}ρcosθ$+2$\sqrt{3}$=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出直角标准方程．
（2）设点Q（2cosθ，2sinθ），可得点Q到直线C₁的距离d=$2sin（θ+\frac{π}{6}）$+2$\sqrt{3}$，利用三角函数的单调性值域即可得出最小值．

解答 解：（1）曲线C₁的方程为ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$=0，展开可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$+$\frac{1}{2}ρcosθ$+2$\sqrt{3}$=0，可得直角标准方程：$\sqrt{3}$y+x+4$\sqrt{3}$=0．
（2）设点Q（2cosθ，2sinθ），则点Q到直线C₁的距离d=$\frac{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ+4\sqrt{3}|}{2}$=$2sin（θ+\frac{π}{6}）$+2$\sqrt{3}$≥2$\sqrt{3}$-2，当且仅当$sin（θ+\frac{π}{6}）$=-1时取等号．
∴|PQ|的最小值为2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、点与圆的位置关系、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．