Question

6．已知函数f（x）=4ax-$\frac{a}{x}$-2lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=$\frac{6e}{x}$，若在区间[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求出f′（1），f（1），代入切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a的具体范围；
（Ⅲ）构造函数ϕ（x）=f（x）-g（x），x∈[1，e]，只需ϕ（x）_max＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x）_max，从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，$f（x）=4x-\frac{1}{x}-2lnx$，
f（1）=4-1-2ln1=3，…（1 分）
$f'（x）=4+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$，…（2 分）
曲线f（x）在点（1，f（1））处的斜率为f′（1）=3，…（3 分）
故曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-3=3（x-1），
即y=3x．…（4 分）
（Ⅱ）$f'（x）=4a+\frac{a}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{4a{x^2}-2x+a}}{x^2}$．…（5 分）
令h（x）=4ax²-2x+a，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需h（x）≥0在区间（0，+∞）内恒成立．…（6 分）
依题意a＞0，此时h（x）=4ax²-2x+a的图象为开口向上的抛物线，
$h（x）=4a{（x-\frac{1}{4a}）^2}+（a-\frac{1}{4a}）$，
其对称轴方程为$x=\frac{1}{4a}∈（0{，_{\;}}+∞）$，$h{（x）_{min}}=a-\frac{1}{4a}$，
则只需$a-\frac{1}{4a}$≥0，即a≥$\frac{1}{2}$时，h（x）≥0，f'（x）≥0，…（8 分）
所以f（x）定义域内为增函数，实数a的取值范围是$[\frac{1}{2}{，_{\;}}+∞）$．…（9 分）
（Ⅲ）解：构造函数ϕ（x）=f（x）-g（x），x∈[1，e]，
依题意ϕ（x）_max＞0，…（10分）
由（Ⅱ）可知a≥$\frac{1}{2}$时，ϕ（x）=f（x）-g（x）为单调递增函数，
即$ϕ（x）=a（4x-\frac{1}{x}）-2lnx-\frac{6e}{x}$在[1，e]上单调递增，…（12分）
$ϕ{（x）_{max}}=ϕ（e）=a（4e-\frac{1}{e}）-8＞0$，则$a＞\frac{8e}{{4{e^2}-1}}＞\frac{8e}{{4{e^2}}}=\frac{2}{e}＞\frac{1}{2}$，
此时，ϕ（e）=f（e）-g（e）＞0，即f（e）＞g（e）成立．
当a≤$\frac{8e}{{4{e^2}-1}}$时，因为x∈[1，e]，$4x-\frac{1}{x}＞0$，
故当x值取定后，ϕ（x）可视为以a为变量的单调递增函数，
则ϕ（x）≤$\frac{8e}{{4{e^2}-1}}（4x-\frac{1}{x}）-2lnx-\frac{6e}{x}$，x∈[1，e]，
故ϕ（x）≤$\frac{8e}{{4{e^2}-1}}（4e-\frac{1}{e}）-2lne-\frac{6e}{e}=0$，
即f（x）≤g（x），不满足条件．
所以实数a的取值范围是$（\frac{8e}{{4{e^2}-1}}{，_{\;}}+∞）$．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．