Question

【题目】在正项数列{an}中，已知a1=1，且满足an+1=2an （n∈N*）
（Ⅰ）求a2 ， a3；
（Ⅱ）证明．an≥ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵在正项数列{an}中，a1=1，且满足an+1=2an （n∈N*），

∴ = ，

= ．

证明：（Ⅱ）①当n=1时，由已知 ，成立；

②假设当n=k时，不等式成立，即 ，

∵f（x）=2x﹣ 在（0，+∞）上是增函数，

∴ ≥

=（ ）k+ （ ）k﹣

=（ ）k+

=（ ）k+ ，

∵k≥1，∴2×（ ）k﹣3 ﹣3=0，

∴ ，

即当n=k+1时，不等式也成立．

根据①②知不等式对任何n∈N*都成立

【解析】（Ⅰ）利用递推公式能依次求出a2，a3．（Ⅱ）利用数数归纳法证明：先验证当n=1时， ，成立，再假设当n=k时， ，由f（x）=2x﹣ 在（0，+∞）上是增函数，推导出 ，由此能证明an≥ ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．