Question

（本题满分10分）

如图，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB＝2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F，

⑴求证：A₁C⊥平面BDE；

⑵求A₁B与平面BDE所成角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

⑴由三垂线定理可得，A₁C⊥BD，A₁C⊥BEA₁C⊥平面BDE

⑵

【解析】

试题分析：⑴由三垂线定理可得，A₁C⊥BD，A₁C⊥BEA₁C⊥平面BDE

⑵以DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴，建立坐标系，则，

，∴，∴

设A₁C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A₁BK为A₁B与平面BDE所成角，

∴

考点：本题主要考查三垂线定理的应用，角的计算，空间向量的应用。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。本题解法利用了向量，简化了证明过程。