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关于函数f(x)=sin2x-(
2
3
)|x|+
1
2
x∈[-
π
2
π
2
]
有下面四个结论:
(1)f(x)是奇函数;    
(2)f(x)<
3
2
恒成立;
(3)f(x)的最大值是
3
2
; 
(4)f(x)的最小值是-
1
2

其中正确结论的是
(2)、(4)
(2)、(4)
分析:由函数为偶函数,故排除(1);根据函数在[0,
π
2
]内是增函数,故当x=
π
2
时,函数取得最大值为
3
2
-(
2
3
)
π
2
3
2
,可得(2)成立且(3)不成立.再根据当x=0时,函数取得最小值为 0-1+
1
2
=-
1
2
,可得(4)成立,综合可得结论.
解答:解:由于函数f(x)=sin2x-(
2
3
)|x|+
1
2
x∈[-
π
2
π
2
]
,可得此函数为偶函数,故排除(1).
且函数在[0,
π
2
]内是增函数,故当x=
π
2
时,函数取得最大值为
3
2
-(
2
3
)
π
2
3
2

故(2)成立且(3)不成立.
再根据函数在[0,
π
2
]内是增函数,可得当x=0时,函数取得最小值为 0-1+
1
2
=-
1
2
,故(4)成立.
故答案为 (2)、(4).
点评:本题主要考查复合函数的单调性、奇偶性和最值,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=mx-2+
2
-1
(m>0,m≠1)的图象恒通过定点(a,b).设椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0).
(1)求椭圆E的方程.
(2)若动点T(t,0)在椭圆E长轴上移动,点T关于直线y=-x+
1
t2+1
的对称点为S(m,n),求
n
m
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•杭州二模)已知函数f(x)=ax3+
1
2
x2
在x=-1处取得极大值,记g(x)
1
f′(x)
.某程序框图如图所示,若输出的结果S>
2011
2012
,则判断框中可以填入的关于n的判断条件是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•杭州二模)设函数f(x)=
1
x2+x
.某程序框图如图所示,若输出的结果S>
2011
2012
,则判断框中可以填入的关于n的判断条件是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
x+2,x≤-1
-x,-1<x<1
x-2,x≥1
,关于x的方程f(x-1)=k(其中|k|<1)的所有根的和为S,则S的取值范围是(  )
A、(-4,-2)
B、(-3,3)
C、(-1,1)
D、(2,4)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知关于x的函数f(x)=+bx2+cx+bc,其导函数为f+(x).令g(x)=∣f (x) ∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.

   (Ⅰ)如果函数f(x)在x=1处有极值-,试确定b、c的值:

  (Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

   (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立,试求k的最大值。

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