Question

20．设f（x）=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+a，x∈R，a为常数．
（1）若f（x）为奇函数，求a；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用单调性的定义予以证明．
（3）在（1）的条件下，不等式f（x²-3x）+f（x-m+1）≤0对x≥0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用奇函数的定义取值计算，取f（0）=0；
（2）利用函数单调性的定义直接证明；
（3）利用函数的奇偶性与单调性直接得到不等式x²-3x≥-x+m-1对x≥0恒成立．

解答 解：（1）法一：由函数f（x）为奇函数，得f（0）=0即a+1=0，所以a=-1．
法二：因为函数f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）即f（-x）+f（x）=0．
∴f（-x）+f（x）=$（a+\frac{2}{{2}^{-x}+1}）$+$（a+\frac{2}{{2}^{x}+1}）$
=2a+$（\frac{2}{\frac{1}{{2}^{x}}+1}+\frac{2}{{2}^{x}+1}）$
=$a+（\frac{2•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}+\frac{2}{{2}^{x}+1}）$
=2a+2
=0
所以a=-1．
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂．
则有f（x₁）-f（x₂）=$（a+\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}）$-$（a+\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}）$
=$\frac{2×（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂，
∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，
∴${2^{x_2}}+1＞0$，
∴${2^{x_1}}+1＞0$，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，对任意的实数a，函数f（x）在f（x²-3x）+f（x-m+1）≤0上是减函数．
（3）由（1）得，f（x）为奇函数，则有不等式f（x²-3x）+f（x-m+1）≤0对x≥0恒成立等价于不等式f（x²-3x）≤f（-x+m-1）对x≥0恒成立，
又由（2）知，对任意的实数a，函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
则?式等价于不等式x²-3x≥-x+m-1对x≥0恒成立，
即不等式m≤x²-2x+1对x≥0恒成立，
令g（x）=x²-2x+1，则g（x）=（x-1）²，易知∴g（x）_min=g（1）=0
∴m≤0．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性定义证明、以及函数性质的综合应用，属中等题．