Question

已知四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，点F在BC上，且CF=2FB．
（Ⅰ）求证：FG⊥AC；
（Ⅱ）当二面角 P-CD-A 的正切值为多少时，FG⊥平面AEC；并求此时直线FG与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接CG并延长交PA于H，连接BH，
∵G是△PAC的重心，∴CG：GH=2：1，
∵CF：FB=2：1，∴CG：GH=CF：FB，∴FG∥BH．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴AC⊥平面PAB，
∴AC⊥BH，∴FG⊥AC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角．
如图所示，以A为坐标原点建立空间直角坐标系
∵AB=AC=2且AB⊥AC，∴∠ACB=45°，
在直角梯形ABCD中，∵∠BCD=90°，∴∠ACD=45°，
∵AC=2，∴AD=CD=．
∴A（0，0，0），C（，，0），D（0，，0），B（，，0），
设P（0，0，a），∴H（0，0，），E（，，），
∵FG⊥平面AEC∴FG⊥AE∵FG∥BH∴BH⊥AE
∴=（，，），=（，，），∴，∴，
∴PA=，∴tan∠PDA=2．
∴当二面角P-CD-A的正切值为2时，FG⊥平面AEC．
∵BH∥FG，∴FG与平面PBC所成的角等于BH与平面PBC所成的角．
∵=（，，），=（0，，0），=（，，），
设平面PBC的法向量=（x，y，z），∴，∴，
令z=1，∴=（2，0，1）．
∴．
设直线FG与平面PBC所成的角为θ，
∴，
∴直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为．
分析：（I）连接CG并延长交PA于H，连接BH，利用三角形的重心的性质和已知条件即可得到FG∥BH．利用线面垂直的性质和判定定理即可证明AC⊥平面PAB，于是AC⊥BH，进而得到结论；
（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量即可得到二面角，利用斜线的方向向量和平面的法向量即可得到线面角．
点评：熟练掌握三角形的重心的性质、线面垂直的性质和判定定理、线线垂直，及通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量即可得到二面角、利用斜线的方向向量和平面的法向量即可得到线面角的方法是解题的关键．