Question

【题目】已知函数，其中e为自然对数的底数．

（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；

（2）若函数有2个不同的零点，．

①求实数a的取值范围；

②求证：．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）①；②详见解析．

【解析】

（1）根据切线方程可知，即可求解；

（2）①求函数导数，分类讨论，显然时，恒成立，不符合题意，时，由导数可求函数最小值，函数有零点则最小值需小于0，得，易知在上有1个零点，利用导数证明函数在上有1个零点即可求的取值范围；

②利用导数构造函数先证明当，，时，，结合①可得，取对数即可得出结论.

（1）因为，

所以切线的斜率为，解得，

所以实数的值为0．

（2）①由题意知函数的定义域为且．

当时，恒成立，

所以在上为增函数，

故至多有1个零点，不合题意．

当时，令，则．

若，则，

所以在上为增函数;

若，则，

所以在上为减函数．

故的最小值为．

依题意知，解得．

一方面，，所以在上有1个零点．

另一方面，先证明．

令，则

当时，，故在上为增函数;

当时，．故在上为减函数．

所以的最大值为，故．

因为，所以．

而．

令，，则

当时，．故在上为增函数，

所以

故

因此在上有1个零点，

综上，实数的取值范围是．

②先证明当，，时，

．（*）

不妨设，

（*）式等价，

等价于

在中，令，即证．

令

则，

所以在上为增函数，故，

所以成立，

所以成立．

在中，令，即证．

令，则，

所以在上为减函数，故，

所以成立，

所以成立．

综上，（*）式成立．

由①得有2个零点，，

则，所以，

两边取“”得，

所以．

利用得：，

所以且．

又因为

所以，

故．

因此．