Question

【题目】设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．

Answer 1

【答案】解法一 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|。由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，∴圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2。 又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r2=a2+1。从而得2b2-a2=1。又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1，当且仅当a=b时，上式等号成立，从而要使d取得最小值，则应有，解此方程组得或。又由r2=2b2知r=。于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。------10分

解法二 同解法一得d=，∴a-2b=±d，得a2=4b2±bd+5d2①

将a2=2b2-1代入①式，整理得2b2±4bd+5d2+1="0 " ② 把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d2-1)≥0，得5d2≥1。所以5d2有最小值1，从而d有最小值。将其代入②式得2b2±4b+2=0，解得b=±1。将b=±1代入r2=2b2得r2=2，由r2=a2+1得a=±1。综上a=±1，b=±1，r2=2。由|a-2b|=1知a，b同号。于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。--------10分

【解析】

试题本题考察的是求圆的方程，圆被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，劣弧所对的圆心角为，设圆的圆心为，圆截轴所得的弦长为，截轴所得弦长为2，可得圆心轨迹方程，圆心到直线的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．

试题解析：设圆心为，半径为．

则到轴、轴的距离分别为和．

由题设知：圆截轴所得劣弧所对的圆心角为，故圆截轴所得弦长为．

∴（6分）

又圆截轴所得弦长为2．

∴．又∵到直线的距离为

（10分）∴．∴．

将代入上式得：．

上述方程有实根，故

，

∴．

将代入方程得．

又∴．

由知、同号．

故所求圆的方程为或．（14分）