Question

8．已知$\overrightarrow{AB}$=（cos23°，cos67°），$\overrightarrow{BC}$=（2cos68°，2cos22°），则△ABC的面积为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，利用$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$的坐标，可得$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$的模，由数量积公式，可得$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$的值，进而由cos∠B=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}$，可得cos∠B，由余弦函数的性质，可得∠B，最后由三角形面积公式，计算可得答案．

解答 解：根据题意，$\overrightarrow{AB}$=（cos23°，cos67°），则$\overrightarrow{BA}$=-（cos23°，sin23°），有|$\overrightarrow{BA}$|=1，
由于，$\overrightarrow{BC}$=（2cos68°，2cos22°）=2（cos68°，sin68°），则|$\overrightarrow{BC}$|=2，
则$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=-2（cos23°cos68°+sin23°sin68°）=-2×cos45°=-$\sqrt{2}$，
可得：cos∠B=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则∠B=135°，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|sin∠B=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故选：D．

点评 本题考查数量积的坐标运算，关键是由余弦函数的和角公式求出$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，注意角B是向量$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BC}$的夹角，属于中档题．