Question

3．在数列{a_n}中，若存在非零实数T，使得${a_{n+T}}={a_n}（{N∈{n^*}}）$成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列．若数列{b_n}满足b_n+1=|b_n-b_n-1|，且b₁=1，b₂=a（a≠0），则当数列{b_n}的周期最小时，其前2017项的和为（　　）

• A． 672
• B． 673
• C． 3024
• D． 1345

Answer 1

分析 首先要弄清题目中所说的周期数列的含义，然后利用这个定义，针对题目中的数列的周期情况分类讨论，从而将a值确定，进而将数列的前2017项和确定．

解答 解：若其最小周期为1，则该数列是常数列，即每一项都等于1，此时a=1，
该数列的项分别为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此时该数列是以3为周期的数列；
若其最小周期为2，则有a₃=a₁，即|a-1|=1，a-1=1或-1，a=2或a=0，又a≠0，故a=2，
此时该数列的项依次为1，2，1，1，0，…，由此可见，此时它并不是以2为周期的数列．
综上所述，当数列{b_n}的周期最小时，其最小周期是3，a=1，又2017=3×672+1，
故此时该数列的前2017项和是672×（1+1+0）+1=1345．
故选：D

点评 此题考查对新概念的理解，考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．