Question

已知集合A={x∈R|mx²-4x+1=0}，若A∩[

1

3

，2]仅有一个元素，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：分两种情况考虑，当m=0时与m≠0时，利用二次函数的性质及不等式的解法，求出m的范围即可．

解答： 解：当m=0时，A中方程为-4x+1=0，即x=

1

4

，即A={

1

4

}，此时A∩[

1

3

，2]=∅，不合题意；
当m≠0时，分两种情况考虑：△=0，即m=4时，方程有一个实数根，此时方程的解为x=

1

2

，满足题意；
当△=16-4m＞0，即m＜4时，方程有两个不相等的实数根，
设f（x）=mx²-4x+1=0，由A∩[

1

3

，2]仅有一个元素，得到f（

1

3

）•f（2）≤0，
代入得：（

1

9

m-

4

3

+1）（4m-8+1）≤0，即（

1

9

m-

1

3

）（4m-7）≤0，
解得：

7

4

≤m＜3，
综上，实数m的范围为{m|

7

4

≤m＜3或m=4}．
故答案为：{m|

7

4

＜m＜3或m=4}

点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的个关键．