Question

1．在Rt△CAB中，AD是斜边BC上的中线，用向量法证明：|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BC}$|

Answer 1

分析 利用平面向量的线性表示和数量积，结合勾股定理，即可证明结论成立．

解答 证明：Rt△CAB中，AD是斜边BC上的中线，如图所示；

∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$）=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$），
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{\overrightarrow{|AB|}}^{2}{+\overrightarrow{|AC|}}^{2}}$
${\overrightarrow{|AB|}}^{2}$+${\overrightarrow{|AC|}}^{2}$=${\overrightarrow{|BC|}}^{2}$
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BC}$|．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了勾股定理的应用问题，是基础题目．