Question

11．二次函数f（x）满足：f（x）≤f（3）=10，并且它的图象在x轴上截得的线段长等于4，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由已知二次函数f（x）满足：f（x）≤f（3）=10，可得函数图象的顶点坐标及开口方向，进而根据它的图象在x轴上截得的线段长等于4，可得函数的解析式．

解答 解：二次函数f（x）满足：f（x）≤f（3）=10，
故函数f（x）的图象开口朝下，且以（3，10）点为顶点，
设f（x）=a（x-3）²+10=ax²-6ax+9a+10，a＜0，
∵它的图象在x轴上截得的线段长等于4，
∴|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{△}}{\left|a\right|}$=$\frac{\sqrt{36{a}^{2}-4a（9a+10）}}{\left|a\right|}$=4，
解得：a=$-\frac{5}{2}$，
故f（x）=$-\frac{5}{2}$x²+15x-$\frac{25}{2}$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．