Question

设实数a，b满足lg（a-1）+lg（b-1）=lg4，则a•b的取值范围是

[9，+∞）

．

Answer 1

分析：首先由对数的性质可得a＞1、b＞1，结合对数的运算性质可将lg（a-1）+lg（b-1）=lg4变形为ab-（a+b）-3=0，结合基本不等式可得ab-2

ab

-3≥0，运用换元法，令t=

ab

，可得t²-2t-3≥0，解此方程并结合可得t的范围可得t≥3，转化可得ab≥9，即可得答案．

解答：解：根据题意，lg（a-1）+lg（b-1）=lg4，有a-1＞0，b-1＞0，即a＞1、b＞1，
lg（a-1）+lg（b-1）=lg4⇒lg（a-1）（b-1）=lg4⇒（a-1）（b-1）=4，
即ab-（a+b）+1=4，变形可得ab-（a+b）-3=0，①
又由a+b≥2

ab

，
将其代入①可得，ab-2

ab

-3≥0，
令t=

ab

，则t＞1，可得t²-2t-3≥0，
解可得t≥3或t≤-1，
又由t＞1，则t≥3，即

ab

≥3，则ab≥9，
则a•b的取值范围是[9，+∞）；
故答案为[9，+∞）．

点评：本题考查基本不等式的应用，涉及对数运算性质，注意结合对数的性质，分析出a＞1、b＞1．