Question

16．定义方程f（x）=f'（x）的实数根x₀叫做函数的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），t（x）=x³-1的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞a＞b
• C． a＞c＞b
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 通过构造函数F（x）=f（x）-f'（x），f（x）的“新驻点”就是函数F（x）的零点，再依次确定a，b，c的范围得答案．

解答 解：对于g（x）=x，构造F（x）=g（x）-g'（x）=x-1，依题意，函数F（x）的零点就是函数g（x）的“新驻点”，得a=1；
对于h（x）=ln（x+1），构造G（x）=h（x）-h'（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{x+1}$，
G（x）单调递增，且G（0）=-1＜0，G（1）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，∴G（x）的零点b∈（0，1）；
对于t（x）=x³-1，构造H（x）=t（x）-t'（x）=x³-3x²-1，
H′（x）=3x²-6x=3x（x-2），当x∈（-∞，0）∪（2，+∞）上，H′（x）＞0；当x∈（0，2）上，H′（x）＜0．
∴H（x）的增区间为（-∞，0），（2，+∞）；减区间为（0，2）．
∵H（0）=-1＜0，∴H（x）只有1个零点，
∵H（3）=-1＜0，H（4）=15＞0，∴H（x）的零点c∈（3，4）．
综上可得，c＞a＞b，
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查零点存在定理的应用，属于中档题．