Question

【题目】已知曲线C：y2=2x﹣4．
（1）求曲线C在点A（3， ）处的切线方程；
（2）过原点O作直线l与曲线C交于A，B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：y＞0时，y= ，

∴y′= ，

∴x=3时，y′= ，

∴曲线C在点A（3， ）处的切线方程为y﹣ = （x﹣3），即x﹣ y﹣1=0

（2）解：设l：y=kx，M（x，y），则

y=kx代入y2=2x﹣4，可得k2x2﹣2x+4=0，

∴△=4﹣16k2＞0，∴

设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2= ，

∴y1+y2=

∴x= ，y= ，

∴y2=x（x＞4）．

【解析】（1）y＞0时，y= ，求导数，可得切线的斜率，从而可求曲线C在点A（3， ）处的切线方程；（2）设l：y=kx代入y2=2x﹣4，利用韦达定理，结合中点坐标公式，即可求出线段AB的中点M的轨迹方程．