Question

已知函数f(x)=(a-1)x2+

a+1

x

-(a+1)x(a∈R)．
（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）当f（x）为奇函数时，判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意需要考虑①当a=1时，②当a=-1时，③当a≠±1③a≠±1三种情况，先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后检验f（-x）与f（x）的关系即可判断
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）为奇函数时，a=1，此时f(x)=

2

x

-2x，利用定义：设任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，然后判断f（x₁）与f（x₂）的大小即可

解答：解：（Ⅰ）①当a=1时，f(x)=

2

x

-2x，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．
又f(-x)=

2

-x

-2(-x)=-(

2

x

-2x)=-f(x)
∴f（x）为奇函数
②当a=-1时，f（x）=-2x²，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．
又f（-x）=-2（-x）²=-2x²=f（x）
∴f（x）为偶函数
③当a≠±1时f(2)=

5

2

a-

11

2

f(-2)=

11

2

a-

5

2

又a≠±1
∴f（-2）≠±f（2）
∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）为奇函数时，a=1
此时f(x)=

2

x

-2x在区间（0，+∞）上是减函数
设任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，

f(x1)-f(x2) =2[( 1 x1 -x1)-( 1 x2 -x2)] =2[( x2-x1 x1x2 )+(x2-x1)] =2[(x2-x1)( x1x2+1 x1x2 )]

又x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴

x1x2+1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

点评：本题 主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，体现了分类讨论思想的应用．