Question

8．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=-2，|{\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}}|=\sqrt{2}$，则△ABC的面积的最大值为（　　）

• A． 5
• B． 3
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 根据△ABC中$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-2，得ca•cosB=2①；
由|$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{2}$得b=$\sqrt{2}$，再由余弦定理得出c²+a²的值；
根据同角的三角函数关系和基本不等式即可求出S_△ABC的最大值．

解答 解：△ABC中，A、B、C所对边分别为a，b，c，
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-2，得ca•cos（π-B）=-2，
∴ca•cosB=2①；
由|$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{2}$，得b=$\sqrt{2}$，
∴b²=c²+a²-2ca•cosB=2②；
∴c²+a²=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB
=$\frac{1}{2}$ac$\sqrt{1{-cos}^{2}B}$
=$\frac{1}{2}$ac$\sqrt{1-\frac{4}{{（ac）}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（ac）}^{2}-4}$；
由a²+c²=6，得a²+c²≥2ac，ac≤3，当且仅当a=c=$\sqrt{3}$时取等号，
所以S_△ABC≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{{3}^{2}-4}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查平面向量数量积的运算、三角形面积公式不等式求最值等知识，是综合性题目．