Question

18．已知函数f（x）是定义域为[-2，2]的奇函数，且在[0，2]上单调递增．
（Ⅰ）求证：f（x）在[-2，0]上单调递增；
（Ⅱ）若不等式f（log₂（2m））＜f（log₂（m+2））成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）任取x₁、x₂∈[-2，0]且x₁＜x₂，则0≤-x₂＜-x₁≤2，根据奇函数的性质、f（x）的单调性
判断出f（x₁）＜f（x₂），由函数单调性的定义即可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意判断f（x）在[-2，2]上的单调性，根据单调性、定义域、对数的性质列出不等式组，由对数函数的性质求出实数m的取值范围．

解答 证明：（Ⅰ）任取x₁、x₂∈[-2，0]，且x₁＜x₂，
则0≤-x₂＜-x₁≤2，
∵f（x）在[0，2]上单调递增，且f（x）为奇函数，
∴f（-x₂）＜f（-x₁），则f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-2，0]上单调递增；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意知：f（x）在[-2，2]上单调递增，
∴不等式f（log₂（2m））＜f（log₂（m+2））化为：
$\left\{\begin{array}{l}{-2≤lo{g}_{2}^{（2m）}≤2}\\{-2≤lo{g}_{2}^{（m+2）}≤2}\\{lo{g}_{2}^{（2m）}＜lo{g}_{2}^{（m+2）}}\\{2m＞0，m+2＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{8}≤m＜2$，
∴实数m的取值范围是$[\frac{1}{8}，2）$．

点评 本题考函数单调性的证明，奇函数与函数单调性的关系，以及对数函数的性质的应用，考查转化思想，化简、变形能力，注意函数的定义域．