Question

1．双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的右焦点为F，其右支上总有点P，使得|OM|=|PF|（M为PF的中点，O为坐标原点），则C的离心率的取值范围是（1，3]．

Answer 1

分析 求出|PF|，由双曲线的第二定义可得，P到准线的距离d=$\frac{2a}{e}$≥a-$\frac{{a}^{2}}{c}$，即可求出C的离心率的取值范围．

解答 解：设|PF|=m，则|OM|=m=$\frac{2a+m}{2}$，
∴m=2a，
由双曲线的第二定义可得，P到准线的距离d=$\frac{2a}{e}$≥a-$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴e≤3，
∵e＞1，
∴1＜e≤3，
故答案为：（1，3]．

点评 本题考查C的离心率的取值范围，考查双曲线的第二定义，考查学生的计算能力，属于中档题．