Question

设p：“?x∈R，x²-ax+1=0”，q：“函数y=x²-2ax+a²+1在x∈[0，+∞）上的值域为[1，+∞）”，若“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据二次方程根的存在性与△的关系，可得命题p为真命题时实数a的取值范围，根据二次函数的图象和性质，可得命题q为真命题时实数a的取值范围，由“p∨q”是假命题，可得命题p与命题p均为假命题，进而构造关于a的不等式组，解不等式组可得答案．

解答：解：若命题p：“?x∈R，x²-ax+1=0”为真命题，
即方程x²-ax+1=0有实根
则△=a²-4≥0，解得a≤-2，或a≥2
故命题p为假命题时-2＜a＜2
若命题q：“函数y=x²-2ax+a²+1在x∈[0，+∞）上的值域为[1，+∞）”为真命题，
则函数y=x²-2ax+a²+1图象的对称轴：直线x=a≥0
故命题q为假命题时a＜0
由“p∨q”是假命题，故命题p与命题p均为假命题
故

-2＜a＜2 a＜0

解得-2＜a＜0
即实数a的取值范围为（-2，0）

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了二次方程根的存在性，二次函数的图象和性质，复合命题真假判断的真值表，难度中档．