Question

已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),求cotθ的值.

Answer 1

解析一:由sinθ+cosθ=,得(sinθ+cosθ)²=,

∴sinθ·cosθ=-＜0.

而θ∈(0,π),∴90°＜θ＜180°,sinθ＞0,cosθ＜0,sinθ-cosθ＞0.

∴(sinθ-cosθ)²=1-2sinθcosθ=.

∴sinθ-cosθ=.

由得

sinθ=,cosθ=-,cotθ=-.

解析二:由sinθ+cosθ=,可得

cos²θ=(-sinθ)²,

即1-sin²θ=(-sinθ)²,

整理得25sin²θ-5sinθ-12=0,

(5sinθ-4)(5sinθ+3)=0,

解得sinθ=或sinθ=-.

由0＜θ＜π知,sinθ=-不合题意,

∴sinθ=,cosθ=-sinθ=-.

∴cotθ=-.

解析三:同解析一得sinθ·cosθ=-,

∴=-.

等式两边同除以cos²θ,得=-,

整理得12tan²θ+25tanθ+12=0,

解得tanθ=-或tanθ=-.

∵sinθcosθ＜0,sinθ+cosθ=＞0,θ∈(0,π),

∴|sinθ|＞|cosθ|.∴|tanθ|＞1.

∴tanθ＜-1或tanθ＞1(舍去).

∴cotθ＞-1.

∴cotθ=-.

点评:对于三角函数式sinα+cosα、sinα-cosα、sinαcosα,它们之间可通过(sinα+cosα)²=1+2sinαcosα,(sinα-cosα)²=1-2sinαcosα进行转换.若已知sinα+cosα,sinα-cosα,sinα·cosα中三者之一,可求其余两个函数式:如设sinα+cosα=t,则sinα·cosα=(t²-1),sin³α+cos³α=t(3-t²),sin⁴α+cos⁴α=(sin²α+cos²α)²-2sin²α·cos²α=1-(t²-1)².这样利用方程的思想解三角题在三角函数中应用比较广泛.