Question

设圆O的方程为x²+y²=r²（r＞0），A（-r，0）、B（0，r）为直径的端点，C（x₀，y₀）是圆上的任意一点，从点A作直线m垂直于过点C的圆O的切线l，交直线BC于M．
（I）求l的方程；
（II）求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）设Q（x，y）是切线l上异于点C的任意一点，利用向量

CQ

与

OC

互相垂直得

OC

•

CQ

=0，建立关于x₀、y₀、x、y的等式并利用x₀²+y₀²=r²化简，即可得到切线l的方程；
（II）算出l的斜率k=-

x0

y0

，由切线的性质得AM的斜率，利用点斜式写出AM的方程．再由直线方程的两点式给出直线 BC的方程，联解得到BC、AC交点M坐标进而得到C坐标关于x、y、r的形式，代入圆0的方程化简即得点M的轨迹方程．

解答：解：（I）设Q（x，y）是切线l上异于点C的任意一点
则

CQ

=（x-x₀，y-y₀），
∵

OC

=（x₀，y₀），且

CQ

与

OC

互相垂直
∴

OC

•

CQ

=0，得x₀（x-x₀）+y₀（y-y₀）=0，化简得x₀x+y₀y=x₀²+y₀²
∵点C（x₀，y₀）是圆上一点，可得x₀²+y₀²=r²
∴切线l的方程为x0x+y0y=r2．
（II）由题意知C不与A、B重合，
∵AM⊥l，∴由直线l的斜率k=-

x0

y0

，得kAM=

-1

k

=

y0

x0

，
故AM的方程为y=

y0

x0

•(x+r)，化简得y₀x-x₀y+y₀r=0．①
又由两点式得直线BC的方程为y₀x-（x₀-r）y=-y₀r．②
由方程①、②联解，得点C的坐标满足x0=

x+r

2

，y0=

y

2

．
又∵C（x₀，y₀）在圆x²+y²=r²上，
∴可得(

x+r

2

)2+(

y

2

)2=r2，化简整理得（x+r）²+y²=4r²．
结合点M不可能在x轴上，得点M的轨迹方程为（x+r）²+y²=4r²．（y≠0）

点评：本题给出圆的切线和动点满足的条件，求动点的轨迹方程．着重考查了圆的方程、直线与圆的位置关系和动点轨迹的求法等知识，属于中档题．