Question

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上两个不同的动点，圆O的方程为x²+y²=a²．
（1）如图，若向圆O内随机投一点A，点A落在椭圆C的概率为

1

2

，椭圆C上的动 点到其焦点的最近距离为2-

3

．椭圆C的面积为πab．
（i）求椭圆C的标准方程；
（ii）若点B（0，1）且

QB

=

OP

，求直线OP的低斜率；
（2）若直线OP和OQ的斜率之积为

b2

a2

，请探点M（x₁，x₂）与圆O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）（i）由已知得

πab πa2 = 1 2 a-c=2- 3

，又a²=b²+c²，由此能得到椭圆C的方程．
（ii）由

QB

=

OP

，得（-x₂，1-y₂）=（x₁，y₁），所以

x1+x2=0 y1+y2=1

，结合圆的对称性知点P，Q关于y轴对称且PQ的中点坐标为（0，

1

2

），由此能求出直线OP的斜率．
（2）设OP方程为y=kx，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得x12=

a2b2

a2k2+b2

，由kOP•koQ=

b2

a2

，得x22=

a2b2

a2( b2 a2k )2+b2

=

a2k2

a2k2+b2

，所以x12+x22=

a2b2

a2k2+b2

+

a4k2

a2k2 +b2

=a²，由此知点M（x₁，x₂）在圆O：x²+y²=a²上．

解答：解：（1）（i）由已知得

πab πa2 = 1 2 a-c=2- 3

，又a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（ii）由

QB

=

OP

，得（-x₂，1-y₂）=（x₁，y₁），
∴

x1+x2=0 y1+y2=1

，
结合圆的对称性知点P，Q关于y轴对称且PQ的中点坐标为（0，

1

2

），
故直线PQ的方程为y=

1

2

，从而得p(±

3

，

1

2

)，
∴kOP=

1 2

± 3

=±

3

6

．
（2）由题意知直线OP的斜率存在，设其方程为y=kx，
代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，整理，得x12=

a2b2

a2k2+b2

①
由kOP•koQ=

b2

a2

，用

b2

a2k

代替①中的k，得
x22=

a2b2

a2( b2 a2k )2+b2

=

a2k2

a2k2+b2

，
∴x12+x22=

a2b2

a2k2+b2

+

a4k2

a2k2 +b2

=a²，
∴点M（x₁，x₂）在圆O：x²+y²=a²上．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．