Question

已知曲线C1：y=

1

3

x3-3x+

4

3

，曲线C2：y=x2-

9

2

x+m，若当x∈[-2，2]时，曲线C₁在曲线C₂的下方，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意当x∈[-2，2]时，曲线C₁在曲线C₂的下方，则可构造出函数F（x）=x2-

9

2

x+m-

1

3

x3+3x-

4

3

，问题可以转化为F（x）＞0在x∈[-2，2]上恒成立

解答：解：令F（x）=x2-

9

2

x+m-

1

3

x3+3x-

4

3

，故F（x）＞0在x∈[-2，2]上恒成立
∵F'（x）=-x²+2x-

3

2

＜0恒成立
∴F（x） 在[-2，2]上单调递减，
∴F（2）=m-3＞0，得m＞3
故答案为m＞3

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，解答本题的关键是构造出新函数，将图形的位置关系问题用新函数的函数值恒为正来表示，再利用导数研究出新函数的最小值，令其最小值大于0，即可得出实数m的取值范围，根据问题构造新函数，这是数学解题中的一个技巧，根据实际情况恰当转化，用到了转化化归的思想．