Question

已知曲线C1：y=x2-1与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，圆C₂经过A，B，C三点．
（1）求圆C₂的方程；
（2）过点P（0，m）（m＜-1）的直线l与圆C₂相切，试探讨直线l与曲线C₁的位置关系．

Answer 1

分析：（1）由题意可得A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），得|OA|=|OB|=|OC|，从而可求圆C₂的方程；
（2）由题意可知直线的斜率存在，可设其方程为y=kx+m，根据直线与圆相切，得

|m|

k2+1

=1，即k²=m²-1
联立直线l与曲线C₁的方程消元，确定方程的判别式，根据判别式，即可确定直线l与曲线C₁的位置关系．

解答：解：（1）由题意可得A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），得|OA|=|OB|=|OC|，所以圆C₂的方程为x²+y²=1；
（2）由题意可知直线的斜率存在，可设其方程为y=kx+m
由直线与圆相切，得

|m|

k2+1

=1，∴k²=m²-1
联立直线l与曲线C₁的方程可得

y=kx+m y=x2-1

，消元可得x²-kx-m-1=0
△=k²+4m+4=m²+4m+3
当△＜0时，即-3＜m＜-1时，直线l与曲线C₁没有公共点；
当△＜0时，即m=-3时，直线l与曲线C₁有且只有一个公共点；
当△＜0时，即m＜-3时，直线l与曲线C₁有两个公共点．

点评：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，联立方程组，利用判别式是解题的关键．