Question

本题有(1)．(2)．(3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换选做题

已知矩阵A=有一个属于特征值1的特征向量.  

(Ⅰ) 求矩阵A；

(Ⅱ) 矩阵B=，点O(0,0)，M(2，-1)，N(0，2)，求在矩阵AB的对应变换作用下所得到的的面积. 

（2）(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程选做题

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）判断曲线与曲线的交点个数，并说明理由．

（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲选做题

已知函数，不等式在上恒成立．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）记的最大值为，若正实数满足，求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）(Ⅰ)  (Ⅱ)8 （2）（Ⅰ）（Ⅱ）只有一个交点（3）（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）(Ⅰ)由已知得，所以     2分

解得 故A=.3分.

(Ⅱ)AB==，所以，，，     5分

即点O，M，N变成点O′(0，0)，M′(4，0)，N′(0，4)，

的面积为.                   7分

（2）（Ⅰ）由已知得                1分

消去参数,得 ．                     3分

（Ⅱ）由得曲线的直角坐标方程为,    4分

由 消去,得，              5分           

解得                   6分

故曲线与曲线只有一个交点．                          7分

（3）（Ⅰ）因为，

所以.                2分

因为不等式在R上恒成立，

所以， 的取值范围为.        3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

由柯西不等式得：，

所以.                                    5分

当且仅当即时，

的最大值为.       7分

考点：矩阵极坐标及不等式性质

点评：三选一的题目一般难度不大，解极坐标问题常转化为直角坐标，利用关系式

，实现直角坐标与极坐标的互相转化，绝对值不等式的求解结合绝对值的几何意义可使计算简化