Question

【题目】折纸是一项艺术，可以折出很多数学图形．将一张圆形纸片放在平面直角坐标系中，圆心B（－1，0），半径为4，圆内一点A为抛物线的焦点．若每次将纸片折起一角，使折起部分的圆弧的一点始终与点A重合，将纸展平，得到一条折痕，设折痕与线段B的交点为P．

（Ⅰ）将纸片展平后，求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）已知过点A的直线l与轨迹C交于R，S两点，当l无论如何变动，在AB所在直线上存在一点T，使得所在直线一定经过原点，求点T的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）轨迹C的方程为；（Ⅱ）点T的坐标为（4，0）．

【解析】

（Ⅰ）依题意知PA=P，P的轨迹是以B、A为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，由题意能求出其椭圆方程；（Ⅱ）题意等价于在AB所在直线上存在一点T，使得TS与TR所在直线关于x轴对称,当直线l垂直于x轴时，x轴上任意一点都满足TS与TR所在直线关于x轴对称，当直线l不垂直于x轴时，假设存在T（t，0）满足条件，设l的方程为y=k（x﹣1），R（x1，y1），S（x2，y2），联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根与系数的关系、根的判别式、直线关于x轴对称，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称．

（Ⅰ）依题意：折痕所在直线m为线段的垂直平分线，∴PA=P，

∴PB+PA= PB + P=4＞2，

∴P的轨迹是以B、A为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆．

∴b2=3．

∴椭圆方程为．

（Ⅱ）由题意可知：在AB所在直线上存在一点T，使得所在直线一定经过原点等价于在AB所在直线上存在一点T，使得TS与TR所在直线关于x轴对称

当直线l垂直于x轴时，x轴上任意一点都满足TS与TR所在直线关于x轴对称，

当直线l不垂直于x轴时，假设存在T（t，0）满足条件，

设l的方程为y=k（x﹣1），R（x1，y1），S（x2，y2），

联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

由根与系数的关系得，①，其中△＞0，

∵TS与TR所在直线关于x轴对称，∴=0，②

∵R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，

∴y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②，得：

==0，

∴2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，③

将①代入③，得==0，④

要使得④与k的取值无关，则t=4，

综上所述，存在T（4，0），使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称，即在AB所在直线上存在一点T，使得所在直线一定经过原点.